Des développements inconnus..
Depuis Euclide

Plan de l'exposé

I - Géométrie euclidienne: Pourquoi, selon de grands noms comme Poincaré et Einstein, on doit lui donner la prépondérance sur toutes les autres.

II - Les nombres: Pourquoi nous nous fourvoyons depuis Euclide en traitant la géométrie à l'aide des nombres.

III - L'écriture: Pourquoi, comme le pensait Leibniz, seule l'introduction d'une écriture pour les figures de la géométrie nous mettra enfin sur la bonne voie

IV - Les vecteurs: Pourquoi ils sont l'outil de base dont il faut se servir pour aborder la géométrie.

V - Les bivecteurs: Comment ils permettent de trouver enfin une écriture pour les figures de la géométrie.

VI - La relation impossible: Comment nous tombons, dés l'introduction de notre écriture, sur une relation impossible

VII - L'anoptrie: Les premières propriétés de cette relation impossible.

VIII - Un précédent célèbre: Histoire d'une autre introduction qui fut elle aussi à son époque jugée "impossible".

IX - Comparaison entre ces deux concepts : Etranges ressemblances entre ces deux "impossibilités".

X - Le challenge : Dans quel nouvel espace l'anoptrie prendra-t-elle son sens ?

Exposé

I - La Géométrie Euclidienne

                 Nous vivons dans un univers structuré par des lois géométriques. Les corps célestes sont sphériques, les orbites des planètes sont elliptiques, les rayons lumineux non perturbés vont en ligne droite et même dans les plus petits cristaux on trouve à peu prés toutes les formes de polyèdres. Aussi c'est sur cette science que nous comptons pour comprendre un jour les mystères du monde où nous vivons et qui nous échappent encore.

                 Pour cette raison nous essayons d'approcher la géométrie sous de nombreuses formes différentes comme autant de boutoirs pour percer ses mystères. Lassés par la géométrie euclidienne qui ne semble pas nous offrir d'autres débouchés que ceux que nous connaissons, nous en testons de nombreuses autres, géométrie complexe, géométrie algébrique, géométrie riemannienne, géométrie différentielle, géométrie symplectique, géométrie non commutative, pour ne citer que les plus connues.

                 Mais au lieu de nous apporter une réponse satisfaisante cette dispersion sème plutôt la confusion. C'était du moins la pensée de quelques grands noms de la science comme par exemple Poincaré et Einstein.

                 Dans un de ses livres Poincaré écrit textuellement « Que doit on penser de cette question: "La Géométrie Euclidienne est elle vraie?" Elle n'a aucun sens. Autant demander si le système métrique est vrai et les anciennes mesures fausses; si les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre; elle peut seulement être plus commode. Or la géométrie euclidienne est et restera la plus commode " (voir la note sur Poincaré)

                 Et dans une conférence qu'il fit à Berlin Einstein déclara « De toutes les autres géométries axiomatiques concevables, la Géométrie Euclidienne se distingue par la simplicité. Et comme la géométrie axiomatique pure ne contient pas d'énoncés sur la réalité accessible à l'expérience, mais seulement la géométrie axiomatique en liaison avec des propositions physiques, il devrait être possible et raisonnable, quelle que soit la nature de la réalité, de conserver la Géométrie Euclidienne ». Or il est bon de rappeler que quoique physicien, c'est surtout sur les mathématiques qu'il comptait pour nous faire comprendre les lois de l'univers. Dans son livre Comment je vois le Monde (p133) il écrit sans ambiguïté " Tout essai de déduire logiquement, à partir d'expériences élémentaires, les concepts fondamentaux et les lois fondamentales de la mécanique reste condamné à l'échec... Je suis convaincu que la construction exclusivement mathématique nous permet de trouver les concepts et les principes les reliant entre eux" et, tournant le dos à l'expérience et à l'observation, il conclut " Le principe fondamentalement créateur se trouve dans la mathématique "(voir la note sur Einstein)

                Il en résulte que la bonne réponse aux questions que nous nous posons sera sans doute apportée par la géométrie euclidienne, la seule qui sera donc abordée ici.

II - Les nombres

                 Une particularité qui selon toutes probabilités handicape la réussite de nos recherches, est la confiance absolue que nous accordons aux nombres, au point que pas une seule de nos géométries n'échappe à leur emprise. Cette dépendance est probablement néfaste. L'exemple de la géométrie projective peut faire comprendre pourquoi.

                 Elle fut fondamentalement développée par Jean Victor Poncelet en 1813 et présentée dans son livre Traité des Propriétés Projectives des Figures . Il l'approcha par un raisonnement direct en posant comme hypothèse que les droites parallèles se coupaient à l'infini. Il développa ainsi une géométrie d'une grande élégance dont on s'aperçut ensuite qu'elle contenait la géométrie euclidienne. Or cette découverte non seulement aurait été impossible s'il avait essayé de l'aborder par une théorie numérique, mais de plus les nombres s'y seraient opposés puisque l'analytique de l'époque rendait impossible l'intersection de deux droites parallèles. Et il est probable que dans nos recherches actuelles les nombres continuent encore à nous occulter des directions qui seraient prometteuses en nous les présentant comme absurdes.

                 Ces observations préliminaires nous incitent donc non seulement à revenir à la géométrie euclidienne, mais en plus à nous priver de l'aide précieuse des nombres, dont, hélas, nous semblons ne plus pouvoir nous passer. On pourrait alors penser que ce faisant nous nous fermons quasiment toutes les portes! Pourtant une observation importante peut nous éclairer sur la direction à suivre.

III - L'écriture

                 Dans toutes nos connaissances les véritables progrès n'ont commencé que lorsqu'on a su convenir d'une écriture spécifique. Par exemple les débuts de notre civilisation peuvent être datés à partir du moment où on a commencé à « écrire » la parole. La pratique des opérations mathématiques n'est véritablement devenue possible que lorsque le pape Sylvestre II imposa « l'écriture » actuelle des nombres. L'explosion des mathématiques survint après que Viète y eut introduit une « écriture » pour les équations. Le grand bond de la chimie se produisit à partir du moment où le chimiste Berzelius montra comment on pouvait « écrire » les formules de la chimie. Et ainsi de suite. L'instauration d'une écriture spécifique semble donc bien être généralement le déclencheur des véritables progrès dans n'importe laquelle de nos connaissances.

                 Or il se trouve qu'en géométrie nous ne disposons toujours pas d'une écriture qui lui soit propre. C'est une lacune qui est incompréhensible. Au point que nous en sommes réduits dans cette science à exprimer nos énoncés absolument comme le faisait Euclide il y a plus de vingt siècles. Par exemple si nous disons : « Un triangle isocèle est un triangle qui a deux angles égaux et les cotés opposés à ces angles sont égaux eux aussi » il nous est impossible de dire si cet énoncé provient d'un des livres de nos collégiens actuels ou bien, comme c'est le cas, des Eléments d'Euclide écrits trois siècles avant notre ère! Nous pouvons demander à nos écoliers « d'écrire » un nombre, nous pouvons demander à nos collégiens « d'écrire » une équation, nous pouvons demander à nos lycéens « d'écrire » une intégrale, mais si nous demandons à n'importe lequel d'entre eux « d'écrire » un triangle isocèle ou un triangle rectangle ils ne comprendront même pas ce qu'ils doivent faire. Ils sauront le dessiner comme le faisaient les élèves d'Euclide, ils sauront le décrire comme le faisaient encore les élèves d'Euclide, mais ils ne sauront toujours pas l'« écrire » comme on ne savait pas non plus l'écrire dans l'antiquité.

                 Or cette absence ne semble affecter aucun mathématicien. Seul Leibniz la trouva insupportable. (voir note sur Leibniz) car il préssentait que l'approche par les nombres, déjà proposée par Descartes, n'était pas satisfaisante. Alors il eut pour obsession constante pendant toute sa vie de mettre au point ce qui devait être une écriture des figures. Et il en avait une idée très précise puisqu'il annonçait que dans cette nouvelle géométrie : « les lettres et symboles quelconques ne représenteront plus des grandeurs ni des nombres comme en Algèbre, mais des points et des combinaisons de points ».

                 Il disparut hélas sans avoir pu réaliser son rêve. Ensuite les mathématiciens, désormais totalement acquis aux spectaculaires succès des techniques numériques, laissèrent tomber cette recherche jusqu'à dédaigner ceux qui, comme Grassmann, s'y intéressèrent encore. (voir la note sur Grassmann).

                 Nous allons alors nous proposer de montrer ce que serait pour la géométrie euclidienne un symbolisme spécifique qui permettrait enfin « d'écrire » les figures. Et, étrange analogie avec ce qui s'est passé en algèbre quand on s'est mis à "écrire" les équations, nous allons découvrir qu'ici aussi, dés l'introduction de cette écriture, nous tombons sur une relation "impossible".

IV - Les vecteurs

                 Le point est la notion première de la géométrie enseignée par Euclide. Ensuite vient le couple de points auquel il fit correspondre un segment c'est-à-dire une longueur. Ce fut une maladresse qui conditionna toute la suite. En effet un couple de points contient bien plus qu'une information de longueur. Il définit aussi une direction. Et sur cette direction il définit un sens. Il a fallu attendre le XIX° siècle pour qu'on pense à prendre l'ensemble de ces données en considération. Il en résulta le vecteur pour lequel les travaux les plus importants sont attribués à Grassmann. Mais le vecteur en lui-même n'est pas un outil suffisant. Grassmann s'en rendit vite compte. Aussi il se crut forcé de recourir quand même aux nombres, travaux qui débouchèrent sur les Espaces Vectoriels actuels.

                 Dans notre recherche d'un symbolisme spécifique débarrassé du nombre le vecteur sera seulement considéré comme élément d'un groupe additif. Et comme il va être notre constant élément de référence nous réserverons au vecteur représenté par le couple de points A et B la notation AB, parce qu'elle est la plus simple.

V - Les bivecteurs

                 Avec le vecteur nous avons fait porter à un couple de points l'ensemble des informations qu'il contenait. Nous allons faire pareil avec les couples de vecteurs que nous appellerons bivecteurs.

                 Si les triangles ABC et A'B'C' sont directement semblables nous dirons que les bivecteurs (AB,AC) et (A'B',A'C') sont égaux et nous écrirons (AB,AC)=(A'B',A'C'). Et si les triangles ABC et A'B'C' sont inversement semblables nous dirons que les bivecteurs (AB,AC) et (A'B',A'C') sont conjugués et nous écrirons (AB,AC)=)A'B',A'C'(.

                 Exactement comme pour les vecteurs, les bivecteurs ont la propriété du report, peuvent être munis d'une addition par la relation de Chasles et finalement constituent un groupe additif abélien. Mais alors que les vecteurs, réduits à leur addition, sont peu efficaces, les bivecteurs vont se révéler trés performants.

                 Par exemple les trois relations fondamentales sur lesquelles Euclide autrefois et Hilbert en 1930 (voir la note sur Hilbert) fondèrent la géométrie se traduisent par les trois relations:

                 (u,v)=)u,v( pour la colinéarité des vecteurs u et v c'est à dire lorsque les vecteurs u et v définissent des directions parallèles.

                 (u,v)=)u,-v( pour l'orthogonalité des vecteurs u et v c'est à dire lorsque les vecteurs u et v définissent des directions perpendiculaires.

                 (u,v)=)v,u( pour l'isométrie des vecteurs u et v c'est à dire lorsque les vecteurs u et v sont superposables par déplacement.

                 Ainsi, avec les conventions que nous venons de poser, les trois relations fondamentales de la géométrie euclidienne s'expriment par trois relations remarquablement semblables. Observons que cette ressemblance ne se rencontre dans aucune des autres approches de la géométrie, que ce soit par l'analytique, les complexes ou mieux encore par les définitions d'Euclide.

                 Et ces trois relations permettent dorénavant « d'écrire » toutes les figures de la géométrie euclidienne

Par exemple :

(AB,AC)=)AC,AB(est l'écriture du triangle isocèle ABC de sommet A,

(AB,AC)=(BC,BA) celle du triangle équilatéral ABC

(AB,AC)=)AB,CA( celle du triangle ABC rectangle en A

(AB,AC)=(AC,BA) celle du triangle rectangle isocèle

(AB,CD)=)AB,CD( celle du trapèze de bases AB et CD

(AB,AC)=(DB,CD) celle du quadrangle harmonique ABCD

(AB,AM)=)AB,AM( celle de la droite passant par A et B

(MA,MB)=)MA,BM( celle du cercle de diamètre AB

et ainsi de suite.

                 Les figures les plus simples se définiront par une seule relation. Les suivantes, plus riches de contenu comme le carré ou le rectangle, par deux, et ainsi de suite.

                 L'intérêt de chacune de ces écritures est qu'elle contient en elle-même l'ensemble des propriétés de la figure qu'elle définit. Il n'est plus nécessaire de les connaître préalablement au moyen de théorèmes. Ces propriétés sont obtenues en appliquant un certain nombre de règles qu'on découvre facilement en remarquant la correspondance qui existe entre les nombres complexes et les bivecteurs. En effet à tout couple de vecteurs (u,v) on peut associer le complexe qui est le rapport de la similitude faisant passer de u à v. Alors l'égalité (u,v)=(u',v') signifie tout simplement que les complexes rapports de ces deux similitudes sont égaux. Et l'égalité (u,v)=)u',v'( signifie que les complexes rapports de ces deux similitudes sont conjugués.

                 En ce point de l'exposé la réaction de tous les mathématiciens est la même. Puisque les bivecteurs ne sont qu'une présentation différente des complexes, il semble beaucoup plus judicieux de garder la notation complexe qui nous est familière et qui possède bien plus de propriétés. Or raisonner ainsi c'est comme si on disait qu'une photo satellite est plus intéressante qu'une carte routière sous prétexte qu'elle est plus détaillée et qu'elle contient plus d'informations. Nous savons que ce n'est pas vrai. Et, de même que l'analytique nous empêchait de voir que deux parallèles se coupent à l'infini, les complexes nous empêchent de voir que, depuis Euclide, nous faisons, si on peut dire, marcher la géométrie euclidienne sur "trois pattes".

VI - La relation impossible

                 En effet utilisons l'analogie observée entre les trois relations fondamentales pour les placer dans le tableau suivant:

                 On sait que la disposition en tableau est souvent fructueuse. Mendeleïev eut justement l'idée d'une répartition semblable pour les éléments chimiques connus de son temps. Et la remarquable fécondité de cette disposition vint de ce que, en complétant les cases vides, il put non seulement annoncer l'existence de nouveaux éléments, mais aussi prédire les propriétés qu'on leur trouverait lorsqu'on les aurait découverts.

                 En procédant de la même façon nous voyons que la case vide de notre tableau se complète par la relation (u,v)=)v,-u(. Et il n'y a pas d'autres possibilités si on tient compte des formes canoniques pour les bivecteurs c'est à dire que (-u,-v)=(u,v) et que (-u,v)=(v,-u).

                 Or si on cherche à voir comment (u,v)=)v,-u( pourrait se représenter on s'aperçoit qu'il est impossible de faire une figure qui lui corresponde. Et si nous utilisons l'analytique ou les complexes pour la comprendre nous obtenons la même réponse négative. Ils nous disent qu'il est impossible à deux vecteurs non nuls de la satisfaire. En quelque sorte ils la considèrent comme "vide" ou "absurde".

                 Avec le temps nous avons appris à nous méfier de ce qui nous parait absurde. La soustraction 3-5 paraissait absurde et c'est elle qui nous a ouvert la porte de tous les nombres que nous connaissons aujourd'hui. L'analytique nous disait que l'intersection de deux droites parallèles était absurde et c'est elle qui nous a ouvert la porte de presque toutes les géométries non euclidiennes que nous connaissons aujourd'hui. Alors prenons aussi en considération la relation "absurde" qui vient de nous apparaitre.

VII - L'anoptrie

                 Pour rappeler un jour qu'en ses débuts cette relation nous a été incompréhensible nous l'appellerons anoptrie formé à partir du privatif « a » et de l'étymon « optos » = visible.

                 Or puisque les complexes et l'analytique refusent de lui donner un sens, seuls les bivecteurs vont nous permettre de l'étudier ce qui va les distinguer définitivement des complexes.

Par exemple :

                 L'anoptrie n'est pas réflexive car (u,u) est différent de )u,-u( puisque l'angle nul est différent de l'angle plat.

                 L'anoptrie est symétrique car si (u,v)=)v,-u( alors (v,u)=)u,-v( puisque la forme canonique de )-u,v( est )u,-v(

                 L'anoptrie n'est pas transitive car si (u,v)=)v,-u( et si (v,w)=)w,-v( alors:
        (u,w) = (u,v)+(v,w) = )v,-u(+)w,-v( = )-v,u(+)w,-v( = )w,u(
qui n'est pas une relation d'anoptrie mais une relation d'isométrie. Ainsi, de même que deux vecteurs orthogonaux à un même vecteur sont colinéaires entre eux, nous découvrons que deux vecteurs anoptriques à un même vecteur sont isométriques entre eux !

                 Et ainsi de suite ce qui permet de conduire une exploration systématique des propriétés de l'anoptrie.

                 Ensuite à partir de l'anoptrie nous définissons un triangle anoptrique ABC par la relation: (AB,AC)=)AC,BA(

                 On peut alors répondre à toutes les questions qui se posent sur cette nouvelle catégorie de triangles.

                 Par exemple:

Question : Quelle est la somme des trois angles d'un triangle anoptrique ?

Réponse : Nous partirons de la définition (AB,AC)=)AC,BA(
appelée relation 1, et nous utiliserons la propriété suivante:
    Une égalité de bivecteurs se conserve si on y fait les mêmes modifications dans les deux membres.

Par suite:

(AB,AC) = )AC,BA( donne
(CA, CA+AB) = )AB, AB+AC( c'est à dire en simpilifiant
(CA,CB) = )AB,AB+AC( appelée relation 2

et de même

(AB,AC) = )AC,BA( donne
(BA+AC, BA) = )CA+BA, CA( c'est à dire en simplifiant
(BC, BA) = )AB+AC,AC( appelée relation 3

d'où par addition des relations 1, 2 et 3.
(AB,AC)+(BC,BA)+(CA,CB)
= )AB,AB+AC( +)AB+AC,AC(+)AC,BA(
= )AB,BA(
Et nous obtenons le résultat suivant: comme pour tous les autres triangles, la somme des angles d'un triangle anoptrique est un angle plat.

                 Par exemple encore:

Question : un triangle anoptrique de sommet A est il aussi anoptrique de sommet B ?

Réponse : Non car on vient de voir que (AB,AC)=)AC,BA( mais que (BC, BA) = )AB+AC, AC( qui ne peut pas se ramener à )BA,CB(

                 Et ainsi de suite. On obtiendra de même toutes les propriétés des triangles anoptriques sans pourtant ni pouvoir les représenter graphiquement ni pouvoir les exprimer par les complexes.

                 La plus importante de ces propriétés est évidemment que l'anoptrie est cohérente et compatible avec les trois autres relations de la géométrie euclidienne.

                 Ensuite, pour situer l'anoptrie par rapport aux trois autres relations fondamentales de la géométrie, observons le tableau:

                 Il montre que l'anoptrie est à l'isométrie ce que l'orthogonalité est à la colinéarité. Par exemple on sait que si deux vecteurs sont orthogonaux à un même vecteur alors ils sont colinéaires entre eux. De même nous avons vu que si deux vecteurs sont anoptriques à un même vecteur alors ils sont isomètriques entre eux.

                 Servons nous de cette analogie pour mieux cerner ce qu'est l'anoptrie. Un vecteur du plan définit une et une seule direction qui ne lui est pas colinéaire, celle des vecteurs qui lui sont orthogonaux, unicité qui aurait été mieux soulignée si cette "orthogonalité" avait été appelée "anti-colinéarité" . Deux vecteurs orthogonaux auraient alors été dits anti-colinéaires. Et en utilisant l'analogie observée deux vecteurs anoptriques sont donc pareillement deux vecteurs "anti-isométriques".

                 Mais ces considérations laissent quand même l'anoptrie toujours aussi mystérieuse. Or ce mystère a beaucoup de ressemblance avec un autre qui se présenta autrefois et dont la résolution ouvrit la porte aux mathématiques d'aujourd'hui. Voyons son histoire.

VIII - Un précédent célèbre.

                 Dans son ouvrage, La Géométrie , qu'il fit paraitre en 1637, Descartes exploite les possibilités dorénavant offertes par les notations introduites par Viète quelques années plus tôt. (voir la note sur Descartes). Et il fait l'observation suivante : si on considère l'équation (x-2)(x-3)(x-4)(x+5)=0 les mathématiciens de son époque disent qu'elle n'a que trois solutions à savoir 2, 3 et 4. Or il va trouver anormal que ces quatre facteurs du premier degré ne soient pas mis sur le même pied d'égalité. Il pose alors que x+5=0 doit lui aussi avoir une racine et il énonce que l'équation (x-2)(x-3)(x-4)(x+5)=0 « a quatre racines, à savoir trois vraies qui sont 2,3,4 et une fausse qui est 5 »

                 Bien que ces nombres faux lui soient incompréhensibles, Descartes arrive pourtant à travailler avec eux. Par exemple il découvre que par un simple changement de variable on peut rendre concrètes les quatre racines de l'équation. Et il conclut : « On peut toujours en augmentant la valeur des vraies racines d'une quantité plus grande que n'est celle des fausses, faire qu'elles deviennent toutes vraies ».

                 L'initiative de Descartes est capitale pour l'histoire des mathématiques car elle rompt avec une conception qui semblait à l'époque indiscutable. Jusqu'à lui les nombres devaient obligatoirement être représentables par des longueurs auxquelles d'ailleurs ils étaient souvent identifiés. Or, avec les nouvelles notations dont les mathématiciens disposent désormais, cette contrainte apparait manifestement comme trop restrictive. Descartes ose la briser en introduisant ces anti-nombres qu'il appelle des « nombres faux ».

                Pour l'époque c'est une vraie bombe. En effet elle fait sauter un verrou. Les nombres acquièrent dés lors une autonomie qu'on n'avait jamais pensé à leur donner. Et dans la foulée la porte est désormais ouverte à toutes les autres découvertes qui vont suivre: nombres réels, nombres complexes, quaternions, matrices qui ont amené les mathématiques au merveilleux état d'avancement que nous leur connaissons aujourd'hui.

                 Ces nouveaux nombres nous sont aujourd'hui devenus familiers. Or voyons comment ils ont été accueillis à l'époque.

                 Disons le d'emblée : le refus fut quasiment unanime. Ils reçoivent un accueil tout à fait négatif. Il semble même que leur appellation ultérieure de « nombres négatifs » vienne de là. Aucun grand nom ne les prend en considération. Une génération après, Pascal se moque encore de ceux qui peuvent envisager d'ôter le nombre 4 au nombre 0 puisque il écrit dans ses Pensées « J'en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro ».

                 Et cette opposition s'est prolongée pendant de nombreuses années puisque prés de deux siècles après leur découverte, un membre de l'Académie des Sciences, Carnot, peut encore faire paraitre un opuscule dans lequel il écrit « Il y a des personnes qui regardent les quantités négatives isolées comme moindre que zéro ; mais cette opinion ne paraît nullement soutenable car pour obtenir une pareille quantité il faudrait pouvoir ôter quelque chose de rien ce qui est absurde». Et le seul fait qu'il ait pu faire cette publication prouve suffisamment qu'il ne devait pas être le seul à penser de la sorte ! (Voir la note sur Carnot)

IX - Comparaison entre ces deux concepts

                 L'introduction proposée par Descartes est étrangement analogue avec celle qui est proposée ici.

- Dans les deux cas il devient évident qu'auparavant on travaillait "sur trois pattes". En algèbre on n'attribuait un sens qu'aux trois opérations 5+3, 5-3, et 3+5. Et en géométrie nous ne considérons que les trois seules relations de parallélisme, d'orhogonalité et d'isomètrie.

- Dans les deux cas, c'est l'introduction d'une écriture spécifique qui débloque la situation. Avant l'introduction des signes + et -, jamais n'était apparue la nécessité de donner une sens à la soustraction impossible 3-5. Avant l'introduction des bivecteurs aucune des approches de la géométrie n'a fait apparaitre la nécessité de donner un sens à la relation impossible (u,v)=)v,-u(

- Dans les deux cas la nouvelle notion introduite n'a pas de sens tant qu'on garde le même référentiel. La soustraction 3-5 passe pour absurde si on reste dans l'ensemble des nombres représentables par des longueurs. L'anoptrie passe pour absurde si on reste dans le plan défini par Euclide.

- Dans les deux cas la nouvelle notion introduite est parfaitement définie et on peut travailler avec elle. Descartes a pu calculer avec ses nombres faux comme nous avons pu travailler avec l'anoptrie.

- Dans les deux cas la nouvelle notion introduite est cohérente et compatible avec les conceptions précédentes. Les nombres négatifs furent compatibles avec les nombres positifs. L'anoptrie est compatible avec tous les axiomes de la géométrie euclidienne au contraire des géométries modernes qui font par exemple l'impasse sur le parallèlisme.

Et enfin, dernière ressemblance mais non la moindre: malgré son caractère évident, la nouvelle notion introduite est unanimement boycottée par les mathématiciens contemporains.

X - Le challenge

                  Jusqu'à maintenant la géométrie d'Euclide ne s'est appliquée que sur la conception qu'Euclide nous a donnée du plan, appelé pour cette raison Plan Euclidien. Or cette conception consiste par exemple, dans une pièce de monnaie, à ne considérer que son coté pile ou son coté face. Pourtant nous savons bien que l'existence de l'un implique forcément l'existence de l'autre. D'où la suggestion que l'anoptrie pourrait avoir du sens si on intégrait le plan euclidien dans un référentiel plus large qui deviendrait le Plan Réel de même que l'extension de Descartes a conduit à introduire la Droite des Réels.

                  Le challenge proposé s'énonce alors ainsi

                  Il est intéressant de remarquer que la démarche proposée ici s'intègre ainsi parfaitement à l'évolution graduelle des mathématiques depuis l'antiquité.

- Après Descartes il a fallu doubler l'espace sur lequel étaient représentés les nombres alors connus pour que l'opération 3-5 soit possible.

- Avec la découverte de l'anoptrie nous devons probablement aussi doubler le plan euclidien pour que l'anoptrie devienne possible.

- Et enfin, si on adhère à l'hypothèse faite en 1967 par Sakharov, notre univers devrait lui aussi être doublé pour que nous en ayons une parfaite compréhension. Mais Sakharov était un physicien. Et n'oublions pas la parole d'Einstein qui annonça " Tout essai de déduire logiquement, à partir d'expériences élémentaires, les concepts fondamentaux et les lois fondamentales de la mécanique reste condamné à l'échec... Je suis convaincu que la construction exclusivement mathématique nous permet de trouver les concepts et les principes les reliant entre eux" .

                  Ainsi, avec la découverte de l'anoptrie, nous sommes donc peut être à l'orée d'une évolution de la géométrie qui ne s'est encore jamais produite….depuis Euclide !

Notes.

Descartes (1596-1650) : C'est dans le livre troisième de son ouvrage La Géométrie que nous trouvons le passage cité ici. Le voici un peu plus complet. Il commence par « Il faut que je dise quelque chose sur la nature des équations ». Puis il pose que « dans chaque équation il peut y avoir autant de racines différentes que celle-ci a de dimensions » ce qui revient à donner en fait une nouvelle définition des nombres. Ensuite à titre d'exemple il montre que l'équation (x-2)(x-3)(x-4)=0 « dans laquelle x ayant trois dimensions, a aussi trois valeurs qui sont 2,3 et 4 ». Et il ajoute « Mais il arrive souvent que quelques unes de ces racines soient fausses ou moindres que rien ». Et alors il fait le produit de l'équation précédente par (x+5) et il pose d'autorité que « cette équation a quatre racines à savoir trois vraies qui sont 2,3,4 et une fausse qui est 5 ».
Référence sur le net: ( cliquer ici)

Leibniz (1646-1716) : De même que Viète n'emploie jamais le mot d'écriture pour caractériser l'écriture qu'il introduit pour les équations et les formules mais qu'il l'appelle Analyse Spécieuse, Leibniz lui non plus n'emploie jamais le mot d'écriture pour le symbolisme qu'il recherche mais il l'appelle de nombreux noms différents: Analyse Géométrique, Analyse de la Situation ( Analysis Situs), Calcul de Situation ( Calculum situs), Calcul Géométrique, voire Caractéristique Géométrique. Toutes les citations qui sont données ici sont tirées de l'excellent livre que lui consacra Louis Couturat La Logique de Leibniz paru en 1901 chez Felix Lacan et où on pourra trouver une étude particulièrement détaillée sur l'ensemble des recherches de Leibniz concernant ce Calcul Géométrique.
Référence sur le net : (cliquer ici)

Carnot (1753-1823) : L'opuscule dans lequel Carnot considère comme absurde de vouloir donner un sens à des opérations telles que 3-5 est très intéressant à lire. Il est directement accessible sur internet.
Référence sur le net: (cliquer ici)

Argand (1768-1822) : Descartes ne s'est pas préoccupé de chercher une représentation graphique des nombres qu'il venait de définir. Ce fut la mission d'autres mathématiciens qui suivirent. Les nombres réels furent représentés par les points d'un axe et les nombres complexes par les points d'un plan. Mais cette représentation ne fut pas immédiate et par exemple la représentation des complexes par les points d'un plan ne fut découverte qu'un siècle après par Argand. Il se peut ainsi qu'on soit amené à travailler longtemps avec l'anoptrie sans pouvoir définir un modèle qui lui corresponde.

Grassmann (1809-1877) : On peut dire que l'indifférence envers les recherches géométriques de Leibniz fut constante à travers les âges. Déjà Huygens auquel il avait présenté son projet lui répondit le 22 novembre 1679 « Je ne conçois pas ce que vous m'en étalez, que vous y fondiez de si grandes espérances ». Or il se trouva que pour le bicentenaire de la naissance de Leibniz une société scientifique de Leipzig, la société Jablonowski, mit au concours la question suivante « Reconstituer et développer le Calcul Géométrique inventé par Leibniz, ou instituer un calcul semblable ». C'est le mémoire de Grassmann, le seul présenté, qui fut couronné le 1° juillet 1846. Il y présentait les vecteurs et il ébauchait ce qui allait devenir plus tard les Espaces Vectoriels dans lesquels malheureusement, contrairement à l'exigence de Leibniz, il faisait aussi intervenir les nombres. Mais son travail ne fut pas pris en considération par les mathématiciens de son époque et il est aujourd'hui considéré comme l'un des grands innovateurs ignorés du XIX° siècle.

Klein (1849-1925): en 1872 un jeune mathématicien allemand du nom de Félix Klein publie le programme d'Erlangen dans lequel il montre qu'à chaque groupe de transformation on peut associer une géométrie et que la géométrie euclidienne est tout simplement la géométrie associée au groupe des similitudes du plan. Il en résulte que la mise au point d'une écriture spécifique pour cette géométrie ne peut pas se faire d'une façon fondamentalement différente de celle qui a été présentée ici.

Poincaré (1854-1912): La citation donnée ici est tirée p 76 de son livre La Science et l'Hypothèse paru chez Flammarion en 1968.

Hilbert (1862-1943). Dans son ouvrage Les Fondements de la Géométrie dont il a écrit la préface pour l'édition de 1930, Hilbert fonde la géométrie sur vingt axiomes. Ce sont pour la plupart des axiomes d'appartenance, d'ordre, de continuité. Seuls trois axiomes sont relationnels. Ces trois relations sont: l'existence des parallèles et l'existence de deux congruences l'une pour les segments et l'autre pour les angles. Et comme il ne se sert de la congruence des angles que pour définir les cas d'égalité des triangles il était possible de les obtenir à partir des cas d'égalité des triangles rectangles. Ainsi on peut ramener les trois relations sur lesquelles il fonde la géométrie euclidienne au parallélisme des droites c'est-à-dire à la colinéarité des vecteurs, à leur perpendicularité c'est-à-dire à l'orthogonalité des vecteurs et enfin à la congruence des segments. Aujourd'hui nous disons isométrie, mais le mot congruence serait plus approprié car l'isométrie suggére malencontreusement une mesure.

Einstein (1879-1955): La citation donnée ici est tirée (page 7) d'un opuscule La Géométrie et l'Expérience publié chez Gauthier Villars qui reproduit un discours que tint Einstein le 27 janvier 1921 devant l'Académie des Sciences de Berlin.
Référence sur le net: (cliquer ici)

Pli cacheté: Je tiens ici à rendre hommage à quelques grands noms d'autrefois comme Mrs Dieudonné, Choquet et Cartan qui ont toujours eu l'amabilité de répondre à ma correspondance. Ils ont trouvé mes notations ingénieuses et mes développements utilisables en didactique de la géométrie. Mais, comme Carnot qui refusait que 3-5 puisse avoir un sens, ils ont refusé que la relation (u,v)=)v,-u( puisse elle aussi avoir un sens. Dans le premier cas on sait aujourd'hui d'où venait l'erreur. Elle consistait à limiter la droite des réels à une seule de ses deux demi-droites. Dans le second cas elle vient peut être pareillement de ce que nous limitons le plan à une seule de ses deux faces.

           Aussi j'ai du protéger l'antériorité de cette conception datant de 1984 par le dépôt de deux plis cachetés à l'Académie des Sciences:
- Le premier en date du 28 Février 2000 a été enregistré sous le N° 17468
- Le second en date du 9 janvier 2014 a été enregistré sous le N° 18066

Cagnes sur Mer : Janvier 2014
Pouzergues arobase gmail point com